Intégrabilité

拓扑集

如果 是一个集合，我们称 为 上的拓扑，它满足（ 中的元素称为 的开集）：

  1. 。
  2. 任意开集的并集在 中。
  3. 有限开集的交集在 中。

(σ-代数)

设 为一个集合，我们称 为 上的σ-代数，它满足：

  1. 。
  2. 通过补集的稳定性。
  3. 可数并集的稳定性。 $ (A_n){n } , {n } A_n $ 配备σ-代数的集合称为可测空间， 中的元素称为可测集合。记作 。

测度

设 为一个可测空间，我们称从 到 的任何应用 为 上的正测度，满足：

  1. ；
  2. 如果 是两两不相交的可测集合，则 $ ({n } A_n) = {n } (A_n) () $

测度空间

三元组 称为测度空间。

众所周知的性质

设 为一个测度空间，则有：

  1. 增长性：；
  2. ；

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μ-可忽略集合

设 为一个测度空间，，如果 是 -可忽略的，即

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完备测度σ-代数

设 为一个测度空间，我们定义 我们称 的 -完备的σ-代数为定义为 的σ-代数。测度 可以扩展到 上，由 $ A T^, ^(A) = (T) A = T N, T T, N N $

可测函数/简单函数/正函数

设 和 为可测空间，：

  1. 如果 ，则 是可测的；
  2. 如果 是可测的，取实数值，且 是有限的，则 是简单的；
  3. 如果 ，则 是正的。

积分

设 为一个测度空间：

  1. 如果 是一个简单、正的函数，定义在 上，则 $ {} f , d= {f()} (f^{-1}({})) $ 如果 且 ，则 。

  2. 如果 是一个正的、可测的函数，定义在 上，则 $ {} f , d= { {} g , dg: ^+, g , g f } $

可积性

设 为一个测度空间， 是 上的可测函数。

  1. 如果 是正的，并且 ，则称 在 上是可积的。
  2. 如果 满足 ，则也称 在 上是可积的，并记作 $ {} f , d= {} f^+ , d- _{} f^- , d $ 其中 和 。

积分的性质

回顾以下性质：

  1. 线性...

  2. 增长性...

  3. 限制：如果 在 上是可积的，并且 ，则 在 上是可积的，并且 $ _A f|A , d= {} 1_A f , d $ 其中 是 对 -代数 的限制。

  4. 积分的Chasles关系...

单调收敛定理

设 为一个测度空间，并且 是 上的递增正可测函数序列。

那么

  1. 存在一个正可测函数 在 上，使得
  2. 并且我们有 $ {} f , d= {n }(_{} f_n , d) $

上极限（下极限）

设 ，我们记 为 中的聚点集合，那么 并且我们称之为序列 的上极限。

同样，我们可以定义下极限为 我们也记作 和 代替 和 。

Fatou引理

设 为一个测度空间，并且 是 上的正可测函数序列。那么 $ {} f_n , d{} f_n , d $

Théorème d'inversion de limites

控制收敛定理

设 为一个测度空间，并且对于每个 ，函数 是 上的可测函数，满足以下假设：

  1. 序列的逐点收敛：存在一个可测函数 使得对于 -几乎每个 ，
  2. 一致有界性：存在一个在 上可积的函数 使得对于几乎每个 ， 那么，
    1. 所有函数 在 上是可积的；
    2. 在 上是可积的；
    3. 并且我们有 $ {} f_n , d{} f , d n $

控制收敛定理表明，如果一个可测函数序列 逐点收敛到函数 并且被一个可积函数 一致有界，则 是可积的，并且 的积分收敛到 的积分。

σ-有限测度

设 为一个测度空间，如果存在一个可数家族 使得 则称 在 上是一个σ-有限测度。

乘积测度

设 和 为两个测度空间，其中 和 是σ-有限的。那么存在唯一的测度 在乘积 -代数 上，满足 Double subscripts: use braces to clarify (A_1, A_2) _1 _2, (A_1 A_2) = _1(A_1) _2(A_2) 这个测度 称为 和 的乘积测度，记作 。 是一个σ-有限测度。

Fubini定理

设 和 为两个测度空间，测度是σ-有限的，设 是相对于乘积 -代数 可测的函数。那么

  1. 函数 $ F_1: 1 , x {_2} f(x, ) , d_2 $ 是相对于 可测的。
  2. 函数 $ F_2: 2 , y {_1} f(, y) , d1 $ 是相对于 可测的。 此外， $ {_1 _2} f , d(_1 2) = {_1} F_1 , d1 = {_2} F_2 , d_2 $

性质 设 为一个复数的双序列，使得

  1. $n , {p=0}^{} |u{n,p}| $收敛；

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Tribu image , mesure image

设 为一个测度空间， 为一个集合，。我们称 在 上的像 -代数为 我们称 在 下的像测度为在 上定义的测度 由

变量变换

设 为一个测度空间， 为一个可测空间， 为一个可测映射。那么

  1. 正的情况。如果 是一个可测函数，那么 $ {'} f , d(') = _{} f , d $
  2. 一般情况。如果 是一个可测函数，那么 在 下是可积的当且仅当 在 下是可积的，并且如果它们是可积的，我们还有 $ {'} f , d(') = _{} f , d $

微分同胚

设 ，其中 是 的一个开子集，，我们称 为 上的 -微分同胚如果

  1. 是单射的；
  2. 是 的一个开子集；
  3. 是 类的。

微分同胚的全局特征

设 ， 是 的一个开子集，那么 是一个 -微分同胚当且仅当

C^1变量变换

设 是 的一个开子集， 是一个 -微分同胚。设 是一个Borel可测函数并且在 上是Lebesgue可积的，那么 在 上是可积的，并且