波动光学

第一章 光的波动性质

我们现在知道光是一种电磁波(onde électromagnétique)。在这里，我们提出了一个简化的波动模型：光的标量模型(le modèle scalaire de la lumière )。

这个模型不能解释偏振现象(polarisation)，这将在后面进行研究。然而，它可以非常简单地解释许多光学现象，特别是干涉和衍射现象。

A 光的标量模型

A.1 光信号

A.1.1 定义

光源(une source lumineuse)发出一种波，我们用一个标量(scalaire)（实数）表示，称为光信号(signaux lumineux)或光振幅(amplitude lumineuse)。因此，光信号是一个实数场，其值同时取决于考虑的位置和时间。在时刻 t 的点 M 处，该信号表示为：

一个光源发出的光信号可以通过探测器(détecteur)来检测。眼睛是一个特殊的探测器。

A.1.2 叠加

作为模型的假设，我们假设光信号可以叠加(se superposer)。如果源 1 单独在时刻 t 的点 M 处产生信号 s1(M, t)，而源 2 产生信号 s2(M, t)，当两个光源同时存在时，我们观察到一个结果信号：

A.1.3 数值范围

对于可见光信号，光信号的典型变化距离约为 米。 在给定点上，光信号的变化非常快。 演变的特征时间约为 秒。

A.2 照度(Éclairement)

A.2.1 光功率(puisssance lumineuse)：约定

考虑一个小尺寸的探测器，具有非常小的敏感表面(surface sensible) dS。该探测器放置在点 M 处（见图 1.1）。

探测器接收到的瞬时光功率 dP(M, t) 与 dS 和信号的平方成正比： 其中 K 是一个常数，其值取决于选择的光学信号的单位制。因此，光学信号的平方与单位面积接收到的功率成比例。 在本课程中，出于实际原因，我们将采用一种单位制来表示光学信号，即： . 在这个单位制中，单位光学信号与单位面积的功率相关联为 。 一些数量级的例子(quelques ordres de grandeur) 中午的太阳光：，眼睛只能感知到大约2%。 低功率激光器（如实验室中的激光器）：，眼睛几乎可以完全感知。 眼睛能够感知的最小单位面积功率：大约几十。

A.2.2 照度

在可见光领域，光信号变化得太快，以至于我们目前无法检测到瞬时光功率。实际上，光探测器主要对接收到的平均光功率敏感。因此，通常考虑光信号的强度(Intensité)（或照度éclairement），即单位面积的平均功率：

在这个表达式中，< f(t) > 表示时间平均值：

实际上，探测器仅对一个时间间隔进行平均，该时间间隔的宽度大约为其响应时间。 探测器的空间扩展(extension spatiale du détecteur) 具有给定有效表面的探测器在空间上具有一定的扩展性。它总共检测到的平均功率由构成它的表面元素的贡献之和给出：

要在某一点测量照度，需要尽可能小的探测器（其尺寸远小于照度的特征变化距离）。

A.3 单色光波(Onde lumineuse monochromatique)

A.3.1 定义

单色光波对应于以下一般形式的信号：

其中 a(M) 是点 M 处的光振幅，φ(M) 是光波在点 M 处的相位延迟(phase retard)。

A.3.2 波长(longueur d'onde)

光在真空中的传播速度记为 c。它的近似值为。 光波在真空中的波长(la longueur d'onde dans le vide)根据定义为：

光波的空间脉动(la pulsation spatiale)根据定义为：

可见光对应于以下大致范围： 400nm < λ0 < 800nm，即 8 · 10^14 Hz > f > 4 · 10^14 Hz， 其中 f 是频率。 辐射的波长与颜色感知有关。 给定的单色光波与一种颜色相关联。反之不成立。

A.3.3 复振幅(Amplitude complexe)

将以下复数量与单色光波相关联： 复信号： 复幅：

因此， 实信号通过以下方式获得：

A.3.4 单色光波的照度(Éclairement d'une onde monochromatique)

对于单色光波，照度显然由以下方式给出：

因此可得：

值得注意的是，在检测光波时，相位信息都会丢失。 探测器对光波的相位不敏感。

B. 传播和相位偏移(Popogation et déphasage)

B.1 光程(Chemin optique)

B.1.1 传播路径和光程

在标量模型中，我们假设对于一个点光源，具有以下性质： 光线从光源S沿着连续的路径传播，这些路径是几何光学中的光线。 从S到M的传播时间记为。 引入从S到M的光程(SM)是方便的，记为：

这是一个与距离有关的同质量。

B.1.2 均匀介质的情况(Cas d'un milieu uniforme)

在均匀介质中，光线是直线，并且传播速度在任何点上都是相同的，由折射率给出：

因此传播时间为：

因此在这种情况下我们有：

B.1.3 一般表达式

在非均匀介质中，传播速度随位置变化。光在点P处的局部传播速度v(P)与局部折射率相关：

连接源点和点M的光线通常不是一条直线。源点到点M的传播时间由沿着考虑的光线的曲线积分给出：

因此一般而言我们有：

B.2 单色光波的相位延迟通过传播(Déphasage d'une onde lumineuse monochromatique par propagation)

B.2.1 一般关系

当单色光波从源点S传播到点M时，在M点观察到与S点相同的信号，只是比S点晚了的时间。信号的振幅在传播过程中可能发生改变。通常情况下，我们有：

对于任意时刻t： 我们可以很容易地推导出： 。因此，我们可以引入空间角频率，并写作： 更一般地，如果N和M是位于同一光线上的两点，则有： 这最后一个关系可以被视为代数关系，如果约定按传播方向正向计算光程，并逆向计算为负值。

B.2.2 介质中的波长和空间角频率(Longueur d'onde et pulsation spatiale dans un milieu)

我们将分别称介质中的波长和空间角频率为：

当两个位于同一光线上的点N和M满足条件时：????

那么

两点的信号处于相位相同的状态。在均匀介质中，对于相位差为2π的两个光线上的点，我们有：

因此，中间相隔 λ 的两点同相（它们的相位差为 ）。

B.3 波面(Surface d'onde)

B.3.1 定义

波面（或等相位面）是具有相同相位的点M的集合，即满足条件： 波面在空间中是固定的。

B.3.2 点光源的波面(Surface d'onde pour une source ponctuelle )

如果光源是点光源，那么唯一的相位延迟是由传播引起的，因此波面由以下定义： 因此，波面是与光源具有相同光程的点的集合。

B.3.3 示例：均匀介质中的点光源(source ponctuelle en milieu homogène)

在均匀介质中，光程简单地表示为： 因此，由点光源发出的波面是以光源为中心的球面。 需要注意的是，光线（径向）在波面的每个点上都与其垂直。

B.3.4 Malus定理

我们假设前面的结果是普遍适用的：这就是Malus定理。 经过任意次反射和折射后，由点光源发出的光线与波面垂直。

这个定理对于通过几何光学定律确定波面非常有用。它适用于经历相同路径的单个光源发出的光线。

B.4 成像和光程(Stigmatisme et chemin optique)

连接共轭点的光程与所考虑的光线无关。 证明依据如图1.4所示。 证明

考虑由一组成像系统共轭的点A和A'。设想A是光源。 点附近的波面是球面的。考虑到(Σ)和(Σ')是分别接近A和A'的两个波面。H、H'和K、K'是位于两条不同光线1和2上的两对点，并且属于(Σ)和(Σ')。显然有：

因此有 其中括号表示沿着光线1或2计算的光程。 现在让波面半径趋于0。那么因此我们可以写成： 因此，光程(AA')与所考虑的光线无关。 这个性质是至关重要的。它可以解释光学系统的形状。 例如，对于一个将两个点A和A'共轭的薄凸透镜，轴外的光线的光程与与轴重合的光线的光程相同。对于轴外的光线，空气中的路径更长，但是在透镜中的路径更短，因为当远离轴线时，透镜的厚度减小。