中文版信号学第六章

I. Quelques généralités

AO是一个主动组件，在一切之前必须通过一个恒定的对称电源（±Vcc）供电，通常Vcc = +15 V。

它有两个输入端子：反相输入端（电势为v-）和同相输入端（电势为v+）；

还有一个输出端子vs。输入的差分电压为ε = v+ − v−。这些电压是相对于共同参考（地）表达的，并伴随着电流i+、i-和is。

2. AO理想情况

1. AO理想情况的假设

• 三种工作模式：

1. 饱和电压（Vsat）保持恒定，对于AO来说被称为"饱和电压"（Vsat = 13∼14 V，Vcc = 15 V）。

2. 这些关系适用于时间相关的量，尤其是在建立了正弦稳态（RSE）的情况下，无论频率如何（对于理想的AO）。

3. 无论处于哪种工作模式，输入电流始终为零：i+ = 0 和 i− = 0。

4. 没有任何关系可以通过电压确定is，is仍然是一个未知量...在实践中没有用！因此，我们永远不会在AO的输出上应用节点定律或Millman定理。

5. 工作条件

• 只有当放大器的输出与反向输入端之间存在连接时，AO才能以线性模式工作。这种连接称为负反馈（或反馈）。

因此，ε = 0 且 v+ = v−。

• 在没有简单的负反馈（没有反馈或正反馈和负反馈）的情况下，系统处于饱和状态（非线性）或者是不确定的（在这种情况下，需要进行假设进行计算，并通过实验进行验证）。

3. 基本线性电路

1. 跟随器（Suiveur）

   • 传递函数： 由于存在负反馈，因此电路在线性模式下工作。 • 跟随器的优点：其输入阻抗 Ze 和输出阻抗 Zs 此外，vs 不受is的影响（因此不受连接到输出的电路的输入阻抗非零的影响），因此 Zs = 0。 结论：跟随器电路在输入和输出方面是理想的。

• 应用：级联两个具有传递函数 H1 和 H2 的四端网络，以开路输出方式连接。 通过添加一个跟随器来解决这个问题： 第二级不再从第一级提取功率，而是从AO的电源（±Vcc）供电。

2. 同相放大器 这是下面的电路，其中 Z1 = R1，Z2 = R2。 • 在正弦稳态下的传递函数： 由于存在负反馈，因此电路在线性模式下工作。在应用于反向输入端的Millman定理中得到： 另外，Z1 = R1，Z2 = R2： 与跟随器类似，这个电路在输入和输出方面是理想的。

3. 反相放大器 这是下面的电路，其中 Z1 = R1，Z2 = R2。 • 在正弦稳态下的传递函数： 由于存在负反馈，因此电路在线性模式下工作。在应用于反向输入端的Millman定理中得到： 另外，Z1 = R1，Z2 = R2。如果 R2 > R1： 该电路在输出方面是理想的（vs 不受 is 的影响，因此 Zs = 0），但在输入方面不是理想的： 但与其他AO电路一样，建立的关系不依赖于连接到该四端网络的输入和输出。这是AO电路的一个优点之一。

4. 加法器 这是下面的电路，其中 Zi = Ri，Z' = R' 在正弦稳态下的传递函数： 由于存在负反馈，因此电路在线性模式下工作。在应用于反向输入端的Millman定理中得到： 如果 Z1 = Z2 = ... = ZN = Z' ：

5. 微分器 通过替换，我们可以将其识别为反相放大器电路：

6. 积分器 我们可以像微分器一样进行推理：

4. 基本非线性电路 在本部分中，AO被认为是理想的，但没有简单的负反馈，因此处于饱和或不确定的工作状态。

1. 简单比较器（同相） 我们希望将输入电压 ve 与已知参考电压 U 进行比较。 该电路没有负反馈环路，因此处于饱和状态。 vs 是二进制的，因为它只取两个值，对应于“是”和“否”的回答（或者是1和0的比特位），问题是：ve 是否大于 U？ 通过交换 v+ 和 v- 可以实现反相比较器。 在实际中，比较器的运行受到实际AO的缺陷的干扰。

2. 有滞后的比较器（反相）

   1. 工作原理 存在正反馈回路，因此AO始终处于饱和状态： 系统是双稳态的，保持了系统的历史信息。 vs 的值取决于系统的历史，这对应于滞后循环。 描述滞后循环的遍历方向： • 假设在 t=0 时，ve <-Vsat。那么 ε>0，vs =+Vsat。 • 只要 ε > 0，系统状态不会改变。ve 可以增加到 +Vsat，然后 ε 改变符号，vs 从 +Vsat 切换到 -Vsat。 因此，Vsat 是一个从高到低的切换电压。 • 对于另一方向，我们用相同的推理从 ve > Vsat 开始，并证明 -Vsat 是一个从低到高的切换电压。

​ b) 使用示例：热泵（PAC）控制

​ 目标：将教室（隔热效果差，存在热损失）的平均温度加热到 T0 = 20°C。我们将温度传感器提供的电压 T 视为温度的线性表示。 ​ 当 vs = +Vsat 时，表示热泵正在运行，当 vs = -Vsat 时，表示热泵处于待机状态（节能模式）。 ​ 首先尝试使用简单比较器（反相器），调整为 T0 的设置。

​ 问题：空气源热泵频繁启停，可能导致能源过度消耗。 ​ 第二个想法是使用滞后比较器（反相器）。 ​ 给定给热泵的设定值是在T1 = 19°C和T2 = 21°C之间加热。 ​ 问题已解决，但如何创建（和更改）设定值T0？

3. 周期的偏移 通过添加电压源V0，可以实现偏移的反相滞后比较器。 我们确定： • 两个切换电压 • 周期的中心横坐标（切换电压的平均值） 这些计算在实验室中进行，名为“滞后比较器和单稳态多谐振器”的实验中完成。

4. 物理学中的滞后效应 我们可以在许多领域中找到滞后效应：磁化现象、弹性体力学等等，同时也存在于生物学、经济学或社会学等领域中！

3. 弛豫振荡器：多谐振器
   1. 工作原理 我们假设运算放大器（AO）处于饱和状态。 我们可以看到一个与带有RC电路的滞后比较器相关联的反馈回路。 由于i+ = 0，所以电压分压器给出v+： 根据ε = v+ - u，因此有两种可能的状态： 正饱和状态：当ε > 0时，vs = +Vsat ⇔ u < "Vsat 负饱和状态：当ε < 0时，vs = -Vsat ⇔ u > -"Vsat i用于关联u和vs：

• 假设在t=0时发生从+Vsat到-Vsat的切换。那么在t=0+时刻，vs = -Vsat。 因此，u逐渐减小并趋向于-Vsat， 但在经过-Vsat（大于-Vsat）时发生切换，即在t1时刻发生切换。

• 现在饱和状态变为正饱和，即vs (t=t1+) = +Vsat。 因此，u逐渐增大并趋向于+Vsat，但在经过+Vsat（小于Vsat）时发生切换，然后再次发生切换，以此类推。

3. 评论 • 没有有意施加输入信号（ve），振荡是由例如AO的电源噪声产生的（通过ε ≠ 0来触发）。 • 工作原理通常以以下方式概括： • 这个电路也被称为"信号发生器"，因为它可以从任意电能（噪声）产生可调节周期的方波或三角波信号。通过输出滤波器可以选择所需的正弦信号谐波。 • 这里的u不是三角形波形，因为与RC电路的积分不完美。如何改进电路？

V. 实际运算放大器的缺陷 提醒：我们首先以简单的方式建模，然后通过实验来确认或否定该模型。如果模型能够部分描述现实情况，但不完全符合，那么就需要进行改进。

1. 运算放大器的频率响应
   1. 实际运算放大器的复杂传递函数 对于实际的运算放大器在线性工作区： 在RSE（有限增益模式）下，传递函数是一个一阶低通滤波器： 其中典型的静态增益值为：𝜇0 ≃ ，截止频率为-3dB：𝜔c /(2𝜋)=1/(2𝜋𝜏)≃1Hz。 结果：在线性工作区，ε可能不为零。 理想运算放大器模型对应于极限情况：𝜇0 → +∞（无限增益）和𝜏 → 0（即时响应）。

2. 简单负反馈的稳定性 最简单的负反馈出现在跟随器电路中（使用实际运算放大器）。 输入信号ve是指数收敛的解（微分方程的系数具有相同的符号）。跟随器的响应时间为𝜏/ 𝜇0 ≪ 𝜏，对应于一个截止频率约为100 kHz的低通滤波器。 在有限增益模式下，对于f ≪ 100 kHz，收敛非常快，因此vs = ve且ε = 0。因此，电路按照理想情况下的计算如预期般在线性工作区运行。

3. 简单正反馈的稳定性 对于最简单的正反馈，计算方式相同，只需将𝜇0替换为-𝜇0。 输入信号ve会指数级地发散（微分方程的系数具有相反的符号），因此运算放大器会进入饱和状态：电路处于饱和状态。

4. 带有纯增益的闭环系统的带宽 例如：非反相放大器在有限增益模式下，𝜔固定。

我们考虑以下一般框图： 我们计算一般情况下的传递函数：（可能还有其他信息，需要进一步提供）

我们注意到带宽增益乘积（PGB）是保持不变的：|𝜇0’|越大，𝜔c‘越小，反之亦然： 我们需要在强大的放大和宽带之间做出妥协。 这是一个重要的结果，在三年级的“高级电子学”课程中将进行复习。

适用于跟随器的应用：

2. 扫描速率 扫描速率是实际运算放大器的非线性限制。扫描速率的变化率（绝对值）具有最大值，称为扫描速率（或"斜率速率"），表示为𝜎。 通常情况下，对于实验中使用的运算放大器：𝜎 ≃ 1 V/μs。

只有当，一个操作放大器（AO）才能以线性状态工作。 这种限制对于具有高幅度和/或高频率的信号变得麻烦。 例如： • 对于vs(t) = U0 sin(𝜔t)，只有当|U0|𝜔 < 𝜎时，系统处于线性状态。否则，系统处于非线性状态：信号失真（对于周期性信号，会出现谐波） • 这是限制运算放大器比较器性能的最主要因素（非瞬时切换）。 对于受到阶跃信号影响的跟随器电路来说，这是限制因素之一。

3. 偏置电流

   在实际的操作放大器（AO）中，输入电流，也称为偏置电流，不是严格为零。这些偏置电流的强度取决于实验条件（主要是温度）和所研究的元件。因此，它们不可能事先被知晓，并且在电路运行过程中可能会（缓慢地）变化。

   典型值：对于我们的实验室用AO，大约是几十到几百纳安（nA），而对于更高性能的AO，可能是几个皮安（pA）。

   例如：在实验中研究的积分器电路“伪积分器电路”

   在t = 0时刻关闭开关，并假设i是恒定的：

   表达式中的第二项随时间增加：vs最终在时间约为CVsat / i- 的时候饱和。

   伪积分器电路

   在t = 0时刻关闭开关，并假设i-是恒定的：

4. 偏置电压

   实际操作放大器（AO）的两个输入并不完全对称，这可以通过额外的偏置电压Vd来描述，该电压存在于放大器的其中一个输入上。 典型值：几毫伏（mV）在常见的AO上。 例如：反相放大器电路 在这里：实际AO = 理想AO，除了偏置电压。 另一个例子：比较器的周期（非预期）偏移带有滞后效应。

结论： • 理解理想操作放大器的模型及其工作状态。 • 能够进行线性和非线性电路的计算（输入/输出关系、输入和输出阻抗等）。 • 能够利用这些电路及其特性。 • 熟悉已学习的可实现的功能：

• 线性状态：跟随器、放大器、加法器、积分器、微分器
• 饱和状态：简单比较器/带滞后效应的比较器、发生器（多谐振荡器）
• 实验课和实践课程中的：滤波器、负电阻、电感等。 • 了解一些实际操作放大器的缺陷（还有其他缺陷！）：有限增益的一阶低通滤波器、偏置电流、斜率响应、偏置电压