Espace Vectoriel

Sous-espaces vectoriels

Définition

Soit E un -espace vectoriel et , on dit que F est un sous-espace vectoriel de E :

F est stable par +_E :
F est stable par ._E :

Propriété 1:

Tout -espace vectoriel E admet toujours les sous-espaces vectoriels : E et {0_E}

Propriété 2,3:

Soit E un -espace vectoriel et soit . Alors F est un sous-espace vectoriel de E si, et seulement si,

F muni(munir 配备) des même opération + et . est un -espace vectoriel.
F est stable par combinaisions linéaires.

Base

Proposition 1.2

Soit E un -espace vectoriel et soit une famille de vecteurs de E. Il est équivalent de dire :

la famille est liée ;
il existe une écriture de 0_E non trivale , soit : $除了$
autre dormulation : $除了$

Dimension finie

Théorème 1.1 Échange

Soit E un -espace vectoriel, soit une famille génératrice et une famille libre de E, alors :

On peut échanger certains vecteurs e la famille génératrice avec des vecteurs de la famille libre tout en gardent la propriété d'être génératrice, soit :

$é é$

如果B是E的base，并且F是E的子空间，那么B是F的base通常来说是错的

维度的计算

以下所有的空间的都有: dimension finie

1、

2、

Proposition 1.3 Formule de Grassman

Si E est un -espace vectoriel de dimension finie , si F et G deux sous-espace vectoriels de E, alors :

Applications linéaires

Définition 1

Soit E et E' deux K-espaces vectoriels, une application f : E → E' est dite $é$ si elle est compatible avec les structures d’espaces vectoriels, c’est-à-dire :

L’ensemble des applications linéaires de E dans E' se note : (E, E') ou (E, E') lorsqu’il n’y a pas ambiguïté sur le corps

Ceci est équivalent(证以下两条):

$分析$

E , E'都是数域下的线性空间
Soit E et E' deux -espaces vectoriels,soit f
- f()=?
  
  donc
- soit

Définition 2

1 Une application linéaire de E dans E' est aussi appelée morphisme ou homomorphisme d’espaces vectoriels.
2 Lorsque E = E', on parle d’endomorphisme de E et on note ou (E).
3 Lorsque f est bijective, on parle d’isomorphisme entre E et E' .
4 Lorsque E = E' et f est bijective, on parle d’automorphisme de E et on note (E) ou GL(E).
5 Lorsque E' = , on parlede forme linéaire et on note .()
Remarque :同态、自同态、同构、自同构、线性泛函

同态就是线性映射

Example

ici ,f est une application nulle (linéaire)

f est linéaire

f n'est pas linéaire

f n'est pas linéaire car

En fait ,on a

donc ,f est linéaire

Soit une vecteur de E( $𝕜$ )

l'application

T translation n'est pas linéaire car

总结：

首先，判断

其次，证明：

如果相等，则linéaire；反之，则non linéaire

Proposition 1

Si E et E' sont deux , alors :

如何证明A是的子空间？

Il est immédiat que l'application nulle est linéaire de dans
证明A中的两个元素经过线性组合后仍在A,则A是的子空间

Proposition 2

Soit et deux -espaces vectoriels et soit .

Si est un sous-espace vectoriel de , alors :

est un sous-espace vectoriel de .

L'ensemble des images par des éléments de , appelé .

proposition 2)

Soit et deux -espaces vectoriels et soit . Si est un sous-espace vectoriel de , alors : est un sous-espace vectoriel de . L'ensemble des images par des éléments de , appelé image directe de par .

De même, si est un sous-espace vectoriel de , alors : est un sous-espace vectoriel de .

Définition 3

Soit E et E' deux K-espaces vectoriels, et , alors :

L'image de E par f est un sous-espace vectoriel de E' noté :
L'image réciproque de par f est un sous-espace vectoriel de E appelé et noté

Example1

Soit

Déterminer

Ker(f):

Ceci est équivalent

, une droite vectorielle

Ker(f) =S

Im(f):Soit ,on a alors il existe ,tel que:

le système est compatible si on a

l'image de f:

Example2

est un sous-espace vectoriel de

Méthode avec Ker de Im

est-ce que est linéaire ?
Si oui Ker()

Réponse

(1)Soit

on a alors est linéaire.

On a bien

Donc F est sous espace vectoriel de E

Proposition 3 (Important)

Soit E et E' deux -espaces vectoriels, , alors :

f est injective si, et seulement si,

f est surjective si, et seulement si,

Résultats utiles

une famille de E

f est injective, est libre , Alors libre aussi

Rappel1:

Rappel2: libre , c'est-à-dire toute sous famille finie libre.

f est sujective, est génératrice , Alors est génératrice aussi
f est bijective, est base , Alors est base aussi
est libre ,

Cas de la dimension finie

est une sous espace vectoriel de

On a dim dim

De plus , on a dim dim

Proposition2

Deux espaces vectoriels de dimension finie sont isomorphes, si et seulement si , ils ont même dimension

PS: 需要证明f是bijective(injective+sujective/ )

证明linéaire的三种情况:

Rang d'une application linéaire

Définition 1

Soit et deux vectoriels , telle que soit de dimension finie , on appelle rang de f et on note:

PS: autre écriture possible

Proposition 3

Soit et deux vectoriels , , alors:

de dimension finie et []

Théorème 2 (Théorème du rang)

Soit et deux vectoriels , .Si E est de dimension finie, alors :

Proposition 4

Soit un vectoriel de dimension finie et , alors :

Remarque

C’est faux en dimension infinie. Pourquoi ?

Proposition 5

Soit et deux vectoriels de dimensions finies, alors

est de dimension finie , égale à

Projection 投影 et

Rappel 1

Soit une base d’espace vectoriel E de dimension n, alors tout vecteur de l’espace se décompose de façon unique en une combinaison linéaire de vecteurs de base B. Autrement dite :

Les scalaires sont appelés .

Rappel 2

Souvenez vous ?

tout élément de E s’écrit, sous la forme , où et
sous-espaces vectoriels de , également sont aussi espaces vectoriels .
Voir aussi le cours de semaine 4 pour au moins 4 méthodes pour démontrer .

Définition

Soit E un -espace vectoriel, F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que . On appelle l’endomorphisme(自同态) de E défini par :

$ù$

Remarque

Puisque , et sont uniques donc est bien définie. De plus, c’est un endomorphisme de .

isomorphisme(同构) 只要求满射，并未要求出发空间与映射空间相同

Example

$ù$

Proposition 1

Soit E un -espace vectoriel, F et G deux sous-espaces vectoriels de tels que .Alors:

Example

()

la décomposition est unique. alors pour tout

Projecteur

Définition

Soit E un espace vectoriel, on appelle tout endomorphisme de E tel que .

Si j'ai une projecteur P, est-ce qu'on peut écrire sous la forme Projection?

Remarque

Soit un -espace vectoriel. Toute projection de est un projecteur de et, réciproquement, tout projecteur de est une projection de .

Proposition 2

Si est un projecteur, on a alors :

est la projection de sur son image parallèlement à son noyau .

Symétrie par rapport à un sous-espace

Définition

Soit E un -espace vectoriel, F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que . On peut définir de même la notion de . C’est l’automorphisme(自同构) de E défini par :

$ù$

Remarque

est bijective sur .

Factorisation(分解) des applications linéaire

Restriction d’une application linéaire

Définition 1

Si F est un sous-espace vectoriel d’un -espace vectoriel E, alors la d’une application linéaire , notée et définie par :

est une application linéaire de dans . De plus ,

est une application linéaire

Définition 2

Si et est un sous-espace vectoriel de tel que , alors la de , notée et définie par :

est une application linéaire de dans . De plus,

est une application linéaire

Remarque

Si est un sous-espace vectoriel d’un -espace vectoriel un sous-espace vectoriel d’un -espace vectoriel et tels que , nous noterons :

Proposition 1

Si est un sous-espace vectoriel d’un -espace vectoriel et une application linéaire de dans , alors :

Inclusion canonique

Définition (Inclusion canonique)

Soit E un K-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E, on peut définir l’inclusion canonique de F dans E par :

On a donc :

Remarque:

Factorisation des applications linéaires

(Important)Théorème 3 (Factorisation des applications linéaires)

Soit et deux -espaces vectoriels, , un supplémentaire de dans , alors

est une isomorphisme entre et

Application

Systèmes linéaires

Définition 5

Soit et deux -espaces vectoriels, , on appelle l’équation d’inconnue x ∈ E :

L’ensemble :

est appelé .

Proposition 2

Soit et deux -espaces vectoriels, . Une condition nécessaire et suﬀisante pour que , appelée est :

Système linéaire homogène

Définition 6

Soit et deux -espaces vectoriels, ,Si , le système est dit . Dans ce cas,

est un sous-espace vectoriel de

En particulier, .

Définition 7

Soit et deux -espaces vectoriels, ,Si ,le système:

est dit système homogène associé de ().

Proposition 3

Soit et deux -espaces vectoriels, . Si existe alors :

est un espace aﬀine de direction .

Interpolation de Lagrange 拉格朗日插值

Définition 8

est l’opération consistant à trouver une fonction dont la courbe représentative passe par des points donnés. Si on exige en plus que la fonction soit polynomiale, on parle d’ .

Soit . On note l’ensemble des fonctions polynomiales de degré ou moins, c’est-à-dire l’ensemble des fonctions telles qu’il existe tels que

Rappel 9

est un -espace vectoriel de dimension finie, avec ;
si une fonction polynomiale de degré a plus de n zéros distincts, alors c’est la fonction nulle.

Exemple:

Remarque:

对于多项式来说，确定了的系数，并且确保了对于每一个，都有：其他多项式项的系数为0
对于3项的多项式来说：

Matrice

Introduction: D'où vient la matrice

Rappel

Matrice

Définition 1

On appelle , toute famille d’éléments d’un ensemble (Souvent ) représentée sous la forme d’un tableau à lignes et colonnes entouré par des crochets :

Définition

Les éléments de la matrice s’appellent $ﬀ$ . L’ensemble des matrices à lignes et colonnes à coeﬀicients dans se note :

Lorsque , on dit que la matrice est une matrice carrée.

L’ensemble des matrices carrées à coeﬀicients dans se note :

Remarque

Si , La famille est appelée diagonale(对角线) de .

Si , on parlera de matrice ligne(行距阵).

Si , on parlera de matrice colonne.

Si tous les coeﬀicients d’une matrice sont nuls, on parlera de matrice nulle et note

Remarque (Convention)

On respecte les conventions suivantes

Pour les lignes, on utilisera comme indice courant et n pour le nombre de lignes.

Pour les colonnes, on utilisera comme indice courant et p pour le nombre de colonnes.

Opérations sur les matrices

Définition 2

On définit les deux opérations suivantes sur :

: si A ∈ et si B ∈ , on définit

par

Définition

On définit les deux opérations suivantes sur :

: si et si ,

on définit par

Proposition 1

L’ensemble des matrices est un -espace vectoriel .

Symbole delta de Kronecker

Définition

On définie le symbole delta de Kronecker , également appelé symbole de Kronecker, par

Lorsque l’une des variables est égale à 0, on l’omet généralement,

d’où :

Matrices de la base canonique

Définition

Il existe une base naturelle de , appelée , donnée par

avec

c'est-à-dire

Exercice

Quelle est la dimension du -espace vectoriel ?

Matrice d’un vecteur dans une base

Définition 3

Si est un -espace vectoriel de dimension finie , si est une base de et si est un vecteur de , alors on appelle et on note :

$Mat_{(x)} ^{Not}_{}

M_{p,l}() où x = ^{n}_{k=1}x_k . e_k $

On dit que est une .

Définition 4

Si est un -espace vectoriel de dimension finie , si est une base de .Soit une famille de vecteur de , on a

on appelle

Matrice d’une application linéaire relativement à deux bases

Définition 5

Si et sont deux -espaces vectoriels de dimension finie et , si est une base de , si est une base de , alors on appelle et on note:

où pour tout

Remarque

On a en fait (connaître par coeur)
Si on choisit en général .On notera .
Si et sont les bases canoniques de E et E' alors on dira que est .
La matrice d’une forme linéaire est une matrice ligne.

对角线为1的矩阵

11.1

Soit la base fixée , , un vecteur de

Isomorphes

Proposition 1

L’ensemble Mn,p(K) est un K-espace vectoriel isomorphe à L (E, E') pour tous K-espaces vectoriels E de dimension p et E' de dimension n, toute base E de E et toute base E' de E', via l’isomorphisme

Remarque

Matrice d’une application linéaire

Remarque

La proposition (en haut) est fondamentale car elle permet d’identifier matrices et applications linéaires. En d’autres termes, toute matrice peut s’interpréter comme une application linéaire, et toute application linéaire (finie) peut se représenter sous la forme d’une matrice.

Exercice

Produit de deux matrices

Remarque

On connaît la composition de deux applications linéaires est encore une application linéaire. Comme les applications linéaires peuvent se presenter sous forme matricielles. Qu’est ce qui ce passe pour les matrice ?

Définition 1

Soit A ∈ Mn,p(K) et.B ∈ Mp,q(K), on définit le produit de A par B comme la matrice définie par

Exemple

没写全

$Double exponent: use braces to clarify A.B : 3 f g : ^3 ^3$

Remarque

Le produit de deux matrice n’est pas toujours définie : compatibilité des formats. Il faut que le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la deuxième. ( comme les compositions des applications )
Supposons A.B = C. La formule donnant le terme
Le produit de deux matrices carrées de taille n est encore une matrice carrée de taille n

Exemple

Question : Soit A et B deux matrices sont en même formats. Est-ce

que l’opération produit matriciel est commutatif ?

Non.

Propriétés du produit de matrices

Proposition 2

Le produit de matrices est associatif :

Le produit de matrices est distributif à gauche et à droite :

matrice identité

Définition

Lorsque , on appelle matrice identité d’ordre p et on note :

La matrice identité I_p correspond l’endomorphisme id_E, l’application identité de E (avec p = dim E), dans n’importe quelle base de E.

Proposition

Existence d’éléments neutres (à gauche et à droite) pour la multiplication :

Existence d’éléments absorbants pour la multiplication :

Puissances d’une matrice carrée

Définition

Pour toute matrice carrée A ∈ Mn(K), on définit la puissance k^eme de A de la façon suivante :

Proposition

Si A et B sont deux matrices carées qui commutent (c'est-à-dire ),alors on a la formule du binôme :

Évaluation d’une application linéaire

Proposition 3

Soit E et E' deux K-espaces vectoriels de dimension finie (avec p=dim E et n= dimE'),soit E une base de E et E' une base de E', soit f ∈ L(E,E') et soit x ∈ E. Alors

Autrement dit, le produit matriciel traduit le calcul de .

Correspondance entre composition et produit matriciel

Proposition 4

Soit des K-espaces vectoriels de dimension finie (p=dimE,n=dimE' etq=dimE''),soit des bases de E, E' et E'' et soit f ∈ L(E,E') et g ∈ L(E',E''). Alors

Autrement dit, le produit matriciel traduit le calcul de $◦$ .

Exemple

Soit , bases canoniques de et

Déterminer

Transposée d’une matrice

Définition 2

Soit A un ensemble, , alors l’application définie par :

est appelée transposition. La matrice est appelée la transposée de M.

Remarque

On trouve aussi souvent la notation pour la transposée de M.

isomorphisme

Proposition 1

La transposition est une application linéaire :

La transposition est involutive :

La transposition est contravariante :

démonstration

Trace d’une matrice

Définition

Soit A = ai,j∈[1,n] ∈ Mp(K). On définit la trace de A, notée trace(A), comme la somme des éléments diagonaux de A :

trace 迹

Proposition

A 7→ trace(A) est une forme linéaire sur Mp(K)
La trace est invariante par transposition :
La trace est invariante par commutation de deux matrices :

Exercice

Existe-t-il tel que ?

Matrices inversibles

Rappel :

une application f inversible si et seulement si il existe g tel que .

Dans ce cas , on note

Définition

Soit A ∈ Mp(K). On dit que A est inversible si :

On dit alors que B est l’ inverse de A et on note

On note l’ensemble des matrices inversibles de

Remarque

S’il existe l’inverse d’une matrice, alors l’inverse est unique. (unicité)

Pourquoi?

démonstration

Proposition 2

Soit et .Alors :

et ;
et ;

démonstration

pour tout et , on note alors

démonstration

et .

démonstration

Formule pour matrices inversibles l’ordre 2

Proposition

Soit .Si alors A est inversible et

Changement de bases

un example

图片

Matrice de passage 过渡矩阵

Définition 1

Remarque

定义不用看

仅记住以下功能：

Est-ce que est-elle inversible ?

图片

当Matrice de Passage两个矩阵相乘时，最终矩阵的空间计算由后面的矩阵空间开始，往前计算

Propriété pour matrice de passage

Proposition 1

Proposition 2

Soit E un K-espace vectoriel .de dimension finie, E , B et C trois

Proposition 3

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, E et B deux bases de E, x ∈ E. Alors :

MatE (x) = PBE .MatB(x)

Autrement dit, en multipliant à gauche par PE , on obtient les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles coordonnées.

[图片]

Proposition 4

Soit E et E′ des K-espaces vectoriels de dimension finie, E et B deux basedeE,E′ etB′ deuxbasesdeE′,f∈L(E,E′).Alors:

Dans le cas particulier où f est un endomorphisme de E (E ′ = E,

E′ =E,B′ =Betf∈L(E)),ona

Mat ′ (f) MatB,B′(f)= PE′ E,E E

Remarque

Si je veut ,

Noyau, image et rang d’une matrice

Définition 2

Soit A ∈ Mn,p.

Le noyau de A est le sous-esp.ace vectoriel de Mp,1(K) défini par :

Ker(A) = X ∈ Mp,1(K), A n,1

L’ image de A.est le sous-espace vectoriel de Mn,1(K) défini par :

Im(A) = A Le rang de A, noté rang(A), est la dimension de Im(A) :

rang(A) = dimIm(A) On notera aussi Ker A, Im A et rang A. Attention aux n et p

Exemple

Remarque

Si , on a

Proposition 5

Soit E et E′ deux K-espaces vectoriels de dimension finie, soit E une basedeE,soitE′ unebasedeE′ etsoitf∈L(E,E′).Onnote A = MatE,E ′(f). Alors :

1 Ona

dimKerf = dimKerA 2 On a dim Im f = dim Im A, c’est-à-dire

rang f = rang A

Remarque

Le rang d’une matrice est le rang de l’application linéaire qu’elle représente.
Deux matrices qui représentent la même application linéaire en des bases différentes ont même rang. (D’après proposition 5)
Si A ∈ Mn,p(K), on a le théorème du rang : p = rang A + dim Ker A

Proposition 6

Soit A ∈ Mp(K) (matrice carrée), les propositions suivantes sont équivalentes :

A est inversible ;
Ker A = {0_p,1};
rang A = p ;
Les colonnes (C₁, . . . , C_p) de A forment une base de Mp,1(K).